Научная нотация является полезным инструментом во многих различных ситуациях. В этом уроке рассмотрим, что такое научная нотация, и рассмотрим две практические задачи, которые показывают, как легко использовать эту нотацию.
Вы знаете, какова масса протона?
0,00000000000000000000000000016726 килограммов
Вы знаете, как много ученых хотят тратить свое время на выписывание всех этих нулей каждый раз?
Правильно: ни один из них.
Вот почему у нас есть научная нотация . Научная нотация — это система для сокращения очень больших или очень маленьких чисел. Вместо всей этой мешанины нулей вы могли бы просто написать:
1,6726 х 10^-27 кг
Это значительно снижает вероятность того, что вы ошибетесь с количеством нулей и случайно испортите свои расчеты, и его намного легче читать.
Вот как работает научная нотация:
Все числа в экспоненциальном представлении выражаются в виде:
10^b
Где а — это число от 1 до 10. Технически а называется мантиссом.
Чтобы преобразовать действительно большое число из десятичной записи в экспоненциальную, сдвиньте десятичную точку влево, пока не получите число от 1 до 10. Избавьтесь от всех лишних нулей и подставьте это число в качестве мантиссы. Затем посчитайте, на сколько мест вы передвинули десятичную точку. Подставьте это число вместо b .
Чтобы преобразовать очень маленькое число, это почти то же самое, но сдвигайте десятичную точку вправо, пока не получите число от 1 до 10. Избавьтесь от лишних нулей и подставьте это число в качестве мантиссы. Затем подсчитайте количество мест, на которые вы переместили десятичную точку, и подставьте противоположное этому числу значение b .
Чтобы преобразовать экспоненциальное представление обратно в десятичное, вы просто делаете обратное. Если показатель степени положительный, переместите запятую на столько знаков вправо, добавляя нули там, где это необходимо. Если показатель степени отрицательный, переместите запятую на столько же знаков влево.
Чтобы добавить или вычесть, просто убедитесь, что показатели степени 10 одинаковы для обоих чисел. Затем добавьте или вычтите два мантиссы.
Чтобы умножить или разделить, умножить или разделить значащие. Для показателей степени используйте те же правила, что и для любых других показателей степени. Для умножения вы добавляете показатели степени; для деления вы вычитаете их.
Это обретает гораздо больше смысла, как только вы начнете его использовать, так что давайте попробуем решить некоторые практические задачи.
Проблема 1
Мы начнем с простого, просто чтобы вы начали. Если у вас нет ничего под рукой, вы можете взять ручку и бумагу, чтобы немного поработать.
Человеческое тело содержит 1 x 10^14 клеток, 1/10 из которых на самом деле являются клетками человека, а 9/10 — бактериальными клетками. Примерно сколько бактериальных клеток в организме человека?
(А) 1 х 10^14
(Б) 1 х 10^13
(С) 9 х 10^14
(Г) 9 х 10^13
Давайте рассмотрим это шаг за шагом. Мы знаем, что количество бактериальных клеток составляет 9/10, или 90%, от 1 x 10^14 . Мы хотим взять 90% от 1 x 10^14 , поэтому нам нужно умножить на 0,9. Во-первых, мы преобразуем 0,9 в экспоненциальное представление:
9 х 10^-1
Далее будем умножать.
(1 х 10^14) х (9 х 10^-1)
Умножьте значащие, чтобы получить 9. Затем используйте правила экспоненты, чтобы иметь дело с экспонентами. Когда вы умножаете два экспоненциальных выражения с одинаковыми основаниями, вы складываете показатели степени.
14 + -1 = 13
Итак, наш окончательный ответ — 9 x 10^13 , или выбор (D).
Проблема 2
Планета A находится на расстоянии 3 x 10 ^ 14 световых лет от планеты B. Планета B находится на расстоянии 2 x 10 ^ 12 световых лет от планеты C. Если космонавт Спифф пролетит от планеты A к планете B и затем к планете C, сколько световых лет лет он путешествует всего?
(А) 5 х 10^2b
(Б) 3,2 х 10^2b
(С) 3,02 х 10^14
(Г) 5 х 10^14
Проще говоря, эта проблема такова:
3 х 10 ^ 14 + 2 х 10 ^ 12
Вы можете сделать это, преобразовав оба числа обратно в десятичную запись, добавив, а затем преобразовав обратно в экспоненциальную запись. Однако это громоздко и связывает вас множеством нулей, а это именно то, чего научная нотация была разработана, чтобы избежать. Вместо этого мы перепишем два числа, чтобы сделать их показатели одинаковыми, чтобы мы могли сложить их в научной форме.
Помните, что показатель степени числа 10 представляет собой количество знаков, на которое десятичная точка сместилась влево. Мы можем изменить этот показатель, манипулируя положением десятичной точки в мантиссе:
2 х 10 ^ 12 = 0,2 х 10 ^ 13 = 0,02 х 10 ^ 14
Для каждого смещения десятичной точки влево мы просто прибавляем единицу к показателю степени. Это именно то, что мы сделали, когда преобразовывали число из десятичной записи в экспоненциальную. Обычно вы останавливаетесь, когда значение мантиссы находится между 1 и 10, потому что людям легко читать и использовать эти числа, но нет никакой математической причины, почему вы должны это делать. Точно так же правильно писать 0,02 x 10^14, и это позволяет нам сложить два числа:
(0,02 х 10^14) + (3 х 10^14) = 3,02 х 10^14
Итак, вариант ответа (С) правильный.
В этом уроке вы попрактиковались в научной нотации. Научная запись не является чем-то необычным; это просто система сокращения очень больших или очень маленьких чисел, поэтому вам не нужно каждый раз выписывать кучу нулей. Все числа в экспоненциальном представлении выражаются в виде:
х 10^b
Научная нотация — это одно из тех понятий, объяснение которых кажется намного более сложным, чем оно есть на самом деле: лучший способ выучить его — просто сделать. Так что теперь идите и попробуйте сами ответить на несколько вопросов в викторине!